相关变化率建模

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模型步骤

先用几何量写出不含时间的恒等式。
将各量视为的函数，对恒等式整体求导。
求导后再代入瞬时位置；提前代值会丢失变化项。
单位跟随被求量：长度、面积、体积的变化率分别带一次、二次、三次长度单位。

必考

1000 基础篇第7章 4

原题

已知某圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为、，体积与表面积的变化率分别为、，则圆柱体的底面半径与高分别为（）。

解析

设半径为、高为。体积与总表面积为

对时间求导并代入：

所以

正半径、正高度解为，选。

1000 基础篇第7章 5

原题

一物体在距离地面观测器的位置匀速垂直上升，速度为。当物体离地时，观测器视线倾角的变化率为，则（）。

解析

设高度为、仰角为，则，对时间求导：，时，故。代入得，选。

1000 强化篇第7章 3

原题

已知曲线，在上任意点作切线，记该切线与曲线在上围成区域的面积为。

求一点，使关于切点横坐标的变化率为零；
当移动至时，，求。

解析

记。在横坐标处的切线为，，故切线在曲线上方，面积为，对求导时，所以

因此

当、时，链式法则给出

拓展

1000 基础篇第7章 1

原题

动点在曲线上运动。若，求经过时到原点距离的变化率。

解析

由，，设距离为，则。在处，故

1000 基础篇第7章 2

原题

二阶可导函数表示某人在十分钟内心跳次数的变化曲线，如图。关于心跳次数的增长速度，正确的是（）。

(A) 至分钟增速变小；至分钟增速变大
(B) 至分钟增速变大；至分钟增速变小
(C) 两段增速都变大
(D) 两段增速都变小

解析

“增长速度”是。至分钟曲线斜率逐渐减小，；至分钟曲线斜率逐渐增大，。选。

1000 基础篇第7章 3

原题

一容器中水增加的速率为，且水的体积与水面高度满足，当时，求水面高度上升的速率。

解析，代入，得到

1000 强化篇第7章 1

原题

质点沿抛物线，，移动，且。当时，求到原点距离的变化速度。

解析

时，且，距离，故

1000 强化篇第7章 2

原题

球的半径以匀速增长。当半径为时，球的表面积和体积的增长速度各是多少？

解析

因此

考研笔记