计算机组成原理第 2 章：数据的表示和运算总览

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第 2 章回答两个问题：一串二进制位怎样才代表一个数，以及硬件怎样对这些位做运算。

主线是一条被”位数有限”这一约束推着走的链条：

位怎么写（2.1.1）→ 符号怎么编，让减法消失（2.1.2）→ 落到真实机器和 C 语言（2.1.3、2.1.4）→ 加法器怎么造、怎么变快（2.2.1）→ 移位这个最便宜的运算（2.2.2）→ 加减与溢出判定（2.2.3）→ 乘除只能迭代（2.2.4）→ 定点的范围精度矛盾解不开，改用浮点（2.3.1）→ 浮点加减多出来的四步（2.3.2）→ 落到 C（2.3.3）→ 最后放进内存（2.3.4）

贯穿全章有两条隐线，值得单独盯住：

① “有符号还是无符号”是解释的属性，不是数据的属性。 硬件里只有一串位、一个加法器；区别只发生在五处（溢出判据、比较、右移、除法、扩展）。

② 每一次提速都是”面积换时间”。 先行进位加法器、桶形移位器、阵列乘法器是同一个设计哲学的三次应用；到第 5 章的流水线、第 3 章的 Cache 还会再遇到。

章节导航

2.1 数制与编码 ✅

节	页面	一句话
2.1.1	进位计数制及其相互转换	小数转换可能不终止；判据是能否写成 ——浮点误差的源头
2.1.2	定点数的编码表示	补码的两种理解：模运算解释减法消失，权值解释符号位可参与运算
2.1.3	整数的表示	有符号与无符号是同一串位、同一个加法器，区别只在五处
2.1.4	C 语言中的整数类型及类型转换	扩展补什么由源类型决定；同宽度混合时无符号”传染”

2.2 运算方法和运算电路 ✅

节	页面	一句话
2.2.1	基本运算部件	加法的瓶颈是进位链；先行进位用面积换时间
2.2.2	定点数的移位运算	两个判据：空位补什么 + 移出位去哪；算术右移向负无穷取整
2.2.3	定点数的加减运算	CF 服务无符号、OF 服务有符号；溢出三种判据等价
2.2.4	定点数的乘除运算	Booth = “连续 1 段换成一加一减”；除法是唯一会触发异常的定点运算

2.3 浮点数的表示与运算 ✅

节	页面	一句话
2.3.1	浮点数的表示	IEEE 754 偏置是 ；阶码全 0 时指数取 而非
2.3.2	浮点数的加减运算	溢出只看阶码；右规至多一次、左规可能多次
2.3.3	C 语言中的浮点数类型	int→double 精确，int→float 会丢精度
2.3.4	数据的大小端和对齐存储	大小端与对齐正交；大小端只作用于多字节标量内部

本章高频边界

边界	判据	在哪
进制 vs 编码	同一位串在不同编码下是不同的数	2.1.1
容量 K/M/G vs 速率 K/M/G	还是 ，看是否由位数决定	2.1.1
原码 / 反码 / 补码 / 移码	零唯一吗、符号位能否参与运算、范围是否对称	2.1.2
四种求补码的方法	取反含不含符号位	2.1.2
有符号 vs 无符号	五处区分：溢出判据 / 比较 / 右移 / 除法 / 扩展	2.1.3
回绕 / 溢出 / 未定义行为	三个层面的概念，不能混叫	2.1.3
零扩展 vs 符号扩展	由源类型决定，与目标无关	2.1.4
值转换 vs 位型重解释	(int)f vs *(int*)&f	2.1.4
串行进位 vs 先行进位	延迟 vs 组内恒定，代价是扇入	2.2.1
逻辑移位 vs 算术移位	补 0 还是补符号位	2.2.2
算术左移 vs 逻辑左移	位串相同，判溢出不同	2.2.2
算术右移 vs C 的除法	向负无穷 vs 向零，负数不整除时差 1	2.2.2
CF vs OF	进位是”装不下”，溢出是”符号被改变”	2.2.3
双符号位 01 / 10	高位是真符号，低位是表面符号；01 上溢	2.2.3
原码乘 vs 补码乘	部分积逻辑右移 vs 算术右移	2.2.4
恢复余数 vs 加减交替	加回除数 vs 下轮改为加	2.2.4
整数除 0 vs 浮点除 0	异常 vs	2.2.4
IEEE 754 偏置 vs 教材移码偏置	vs	2.3.1
规格化 vs 精确	规格化只管编码唯一	2.3.1
尾数溢出 vs 浮点溢出	浮点溢出只看阶码	2.3.2
左规 vs 右规	右规至多一次；左规可能多次且危险	2.3.2
int→float vs int→double	24 位 vs 53 位有效位	2.3.3
大小端 vs 边界对齐	字节次序 vs 起始地址，两者正交	2.3.4

计算模板

题型	步骤
进制转换	整数除基取余、逆序；小数乘基取整、顺序； 以小数点为中心分组
求补码	手算用扫描法（第一个 1 及右边照抄，左边取反）；求相反数用连符号位全取反加 1
判溢出	① （最快）② 同号相加结果异号 ③ 双符号位不同
Booth 乘法	附加 → 看相邻两位（01 加 / 10 减 / 其余不动）→ 算术右移 → 共 轮
加减交替除法	余数 商 1、下轮减；余数 商 0、下轮加；末轮余数为负要加一次除数校正
IEEE 754 编码	① 转二进制 ② 规格化成 ③ ④ 取尾数 23 位，不足补 0、超出舍入
IEEE 754 解码	① 按 1/8/23 拆字段 ② 先判五类中的哪一类 ③ 再套对应公式
浮点加减	对阶（小向大）→ 求和 → 规格化 → 舍入 → 判溢出（只看阶码）
跨存储字数	，等于访存次数
结构体大小	逐成员按对齐要求补填充；总大小是最大成员对齐要求的整数倍

复习顺序

1. 2.1.1：只需抓两点——小数转换可能不终止（浮点误差的源头）、位数与状态数（后面每章都要用）。
2. 2.1.2：本章地基。补码的两种解释都要会：模运算解释”减法为什么消失”，权值解释”符号位为什么能参与运算”。四种求补码的方法要能分清取反含不含符号位。
3. 2.1.3 → 2.1.4：把编码落到 C。核心是**“硬件不区分有无符号”这一句**，以及它导出的五处区分。类型转换的三个动作（重解释 / 扩展 / 截断）要分开记。
4. 2.2.1：抓进位链是瓶颈这一条主线，先行进位的式子要能自己展开一遍。
5. 2.2.2：两个判据先立住，再记三类移位的补位表。算术右移与 C 除法的取整方向差异必考。
6. 2.2.3：本章计算题主战场。三种溢出判据、四个标志位要熟练；那张”同一次加法的两种解释”的表建议默写一遍。
7. 2.2.4：Booth 的判断表必须能背，原理（连续 1 段换成一加一减）理解了就不会记反。加减交替法注意末轮校正。
8. 2.3.1：本章第二个重点。五类编码先判类别再套公式；偏置 、非规格化数指数 这两处极易失分。
9. 2.3.2：五步流程按顺序记，“溢出只看阶码”是第一考点。理解左规为什么危险。
10. 2.3.3 → 2.3.4：收尾。2.3.3 的恒等式判断表建议整张记住；2.3.4 的四条否定（大小端不改位序 / 不改数组顺序 / 不影响 char / 不改寄存器数值）要能立刻答出。

说明

• 本章 12 页对应教材的 12 个三级节，一节一页。 节号以 王道 2026 教材目录（权威参照）为准。
• 旧版三篇笔记已归档（见 归档说明（本地资料））。归档前逐篇复核，发现旧笔记的节号有三处错误：把 BCD 码编为 2.1.2、把 IEEE 754 编为 2.3.2、把除法单列为 2.2.5。这三处在本次重构中已按权威目录更正。
• 本章对话素材极少（109 条提问中仅 5 条），原因见 提问档案的说明（本地资料）。其余各节按教材独立撰写，完整性不受影响。

链接

• 📖 名词库：第 2 章名词库（77 条 + 高频范围限定清单）
• 📜 原始提问档案：第 2 章 原始提问档案（本地资料）（5 条）
• ➡️ 下一章：第 3 章：存储系统
• 🏗️ 重构施工文档：OS + 计组 笔记体系重构计划（本地资料）