定点数的加减运算

补码加减法的运算规则只有一行，简单得不像考点：

补 补 补 补 补 补

真正的考点全在这一行之外：算出来的位串，什么时候不能信。加法器永远给出一个结果，它从不拒绝计算——判断这个结果有没有意义，是标志位和溢出判据的工作。

机制

规则：符号位一起参与运算，进位自然丢弃

补码加法不区分符号位和数值位，整个位一起送进加法器，最高位产生的进位直接丢弃。

这条规则的合法性来自模运算：位加法器本身就是模的运算器，而补码正是按模定义的。丢弃进位不是”忽略错误”，而是取模这个动作本身。

减法完全不需要新规则，转成”加相反数”即可，硬件实现见 2.2.1 加减统一电路。

原码加减法之所以被淘汰，对比之下很清楚：原码相加要先判断两数符号是否相同，同号则绝对值相加、异号则比较绝对值大小、大的减小的、结果符号取绝对值大的那个。光是”比较绝对值”就要额外做一次减法，控制逻辑比补码复杂一个量级。

溢出：三种等价判据

溢出的定义只有一个：真值结果超出了该编码在该字长下的表示范围。判据有三种写法，答案永远一致，选哪个看题目给了什么。

判据一：符号法——只有同号相加才可能溢出，且结果符号与之相反。异号相加绝不溢出，这一点值得单独记：异号相加的结果的绝对值必然不超过两者中较大的那个，一定在范围内。减法要先转成加法再套用—— 是，所以”异号相减”才可能溢出。

判据二：进位法——最高位进位与次高位进位不同即溢出。，是符号位产生的进位，是数值最高位向符号位的进位。两者相等意味着符号位收到的和送出的一致，符号没有被数值”挤坏”；不等则说明数值部分的进位改变了符号位，结果不可信。

这是硬件实际采用的判据，因为它只需一个异或门，且两个信号加法器本来就有。

判据三：双符号位法（变形补码 / 模 4 补码）——两个符号位不同即溢出。

把符号位复制成两位，按模运算。结果的两位符号位：

双符号位	含义
`00`	正数，正常
`11`	负数，正常
`01`	正溢出（上溢）
`10`	负溢出（下溢）

这两位各自的含义要分清，否则极易记反：

高位符号位是结果的真正符号（模下没有被挤坏）；
低位符号位是”只用一位符号位时会看到的那个表面符号”。

于是 01 读作”真符号为正、表面符号为负”——真值是正的，却因为超出范围而在单符号位下显示成负数，这就是上溢。10 反之，是下溢。

验证一遍（定点小数，模 4）：，即 00.1011 + 00.0111 = 01.0010。真值已超过，高位符号 0 说明真值为正，判为上溢，与实际一致。

两位符号位是否相同，等价于判据二的 ——它们本来就是同一个异或。

三种判据的关系：判据一是定义，判据二是它的电路实现，判据三是它的手算形式。

标志位

一次加减法之后，机器同时产生四个标志位，它们是互相独立的四个事实，不是四选一：

标志	名称	含义	服务于
CF	进位/借位		无符号解释
OF	溢出		有符号解释
ZF	零	结果全 0 时为 1	两者通用
SF	符号	结果的最高位	有符号解释

CF 的公式里那个值得解释：做加法时（），表示产生了进位；做减法时（），加法器算的是， 恰恰表示”没有借位”（够减），所以要取反才是借位标志。这就是”减法时 CF 是借位标志”的由来。

同一次加法的两种解释

这张表是本节最该吃透的东西，它把 2.1.3 “硬件不区分有无符号”落到了具体数字上。全部按 8 位补码加法器：

运算	结果			CF	OF	ZF	SF	无符号解释	有符号解释
`0x7F + 0x01`	`0x80`	0	1	0	1	0	1	，正确	，溢出
`0xFF + 0x01`	`0x00`	1	1	1	0	1	0	，溢出	，正确
`0x80 + 0x80`	`0x00`	1	0	1	1	1	0	，溢出	，溢出
`0x40 + 0x20`	`0x60`	0	0	0	0	0	0	，正确	，正确

前两行是关键：第一行 CF=0 而 OF=1，第二行 CF=1 而 OF=0。同一串位、同一个加法器，无符号视角和有符号视角给出的”对错”判断完全相反。

机器并不知道该看哪一个——是编译器根据变量类型选择了不同的条件跳转指令（ja/jb 看 CF，jg/jl 看 OF 和 SF）。这正是 C 里”有符号溢出是未定义行为、无符号回绕有定义”的机器层背景。

无符号数的溢出为什么看 CF

无符号数没有符号位，位的合法范围是。结果超出这个范围，唯一的表现就是产生了第位，即。

减法则相反：在时结果为负，无符号无法表示，表现为借位，即（取反后 CF=1）。

所以无符号比较大小就是做一次减法看 CF：cmp A, B 后 CF=1 说明。

边界

CF 与 OF：最高频的混淆

	CF	OF
来自	（最高位进位）
回答	无符号结果对不对	有符号结果对不对
加法器需要额外硬件吗	不需要，进位天然存在	需要一个异或门

“最高位有进位”和”溢出”是两件不同的事，上表第二行 0xFF + 0x01 就是反例：有进位（CF=1），但有符号结果完全正确（OF=0）。

判据：进位是”位串装不下”，溢出是”符号被改变”。

异号相加不溢出，同号相减不溢出

由判据一直接得出，这两条能省掉一半的判断工作：

加法：只有同号相加才可能溢出。
减法：转成加相反数后，只有异号相减才可能溢出（中或）。

溢出之后结果是什么

结果不是随机的，也不是”截断”——它就是数学真值对取模后按补码解释的值。得到，因为。

机器不会因为溢出而停下来（除法是例外，见 2.2.4）。它只置位 OF，然后继续执行。是否处理，由程序决定——这一点与异常机制的关系是：x86 提供 INTO 指令，可在 OF=1 时主动触发一个陷阱，但编译 C 代码时并不生成它。

双符号位不是”多用一位”

变形补码在运算过程中用两位符号位，存储时仍然只用一位。它是一种手算/中间寄存器的技巧，不改变数据的存储格式。

用双符号位时模是 ，这也是它被称为”模 4 补码”的原因（对定点小数而言模为 4）。

对照速查

溢出判据	写法	场合
符号法	同号相加、结果异号	定义，理解用
进位法		硬件实现，做题最快
双符号位	`01` 上溢 / `10` 下溢	手算、变形补码题

标志	公式	谁在用
CF		无符号
OF		有符号
ZF	结果全 0	通用
SF	结果最高位	有符号

考点

补码加减的符号位参与运算，进位丢弃，合法性来自模
三种溢出判据等价：同号相加结果异号 / / 双符号位不同
双符号位 01 是上溢，10 是下溢
CF 服务无符号，OF 服务有符号；0xFF+0x01 是 CF=1、OF=0 的标准反例
减法时 CF 是借位标志，因为
异号相加不溢出；异号相减才可能溢出
溢出后结果是模的值，机器不中断
无符号比较大小 = 做减法看 CF

考研笔记