浮点数的表示

定点数把小数点钉死在一个约定位置上，于是范围和精度成了一对不可调和的矛盾：小数点靠左则精度高、范围小，靠右则范围大、精度低，位字长里再怎么挪也只有个可表示的值。

浮点数的思路是把小数点的位置也编进数里。同样是 32 位，浮点数用一部分位记”小数点在哪”（阶码），剩下的记有效数字（尾数）。可表示的值仍然只有个，但它们不再等距分布——靠近 0 的地方密，远离 0 的地方疏。这才是浮点数的本质：不是”能表示更多数”，而是”把有限的表示能力按相对精度分配”。

机制

一般格式

：数符，1 位。
：尾数，定点小数，决定精度。
：阶码，定点整数，决定范围。
：基数，隐含约定，IEEE 754 中。

阶码和尾数的位数分配是一个纯粹的权衡：在总位数固定时，阶码每多一位，范围按平方级扩大；尾数每多一位，精度翻一倍。所以 float 到 double 时阶码只从 8 位加到 11 位，尾数却从 23 位加到 52 位——范围已经够用了，精度才是瓶颈。

规格化：为什么必须有

同一个数有无数种写法：。若不加约束，编码就不唯一，比较大小和判等都无法进行。

规格化就是那条约束：要求尾数的最高有效位必须是有意义的。二进制下时：

尾数用原码表示时，规格化形式是（小数点后第一位为 1）。
IEEE 754 采用另一种约定：（小数点前一位为 1）。

规格化还有一个实际收益，它是 IEEE 754 隐藏位的来源：既然规格化后最高位必然是 1，那这一位就不必存储了——用同样的位数多得到一位精度。这一位叫隐藏位。

IEEE 754 的字段划分

flowchart LR
    subgraph SP["单精度 float（32 位）"]
        direction LR
        S1["S<br/><b>1 位</b>"]:::s
        E1["阶码 E<br/><b>8 位</b>（偏置 127）"]:::e
        M1["尾数 M<br/><b>23 位</b>（+1 位隐藏位）"]:::m
    end
    subgraph DP["双精度 double（64 位）"]
        direction LR
        S2["S<br/><b>1 位</b>"]:::s
        E2["阶码 E<br/><b>11 位</b>（偏置 1023）"]:::e
        M2["尾数 M<br/><b>52 位</b>（+1 位隐藏位）"]:::m
    end
    SP ~~~ DP

    classDef s fill:#fee2e2,stroke:#dc2626,color:#7f1d1d
    classDef e fill:#fef3c7,stroke:#d97706,color:#78350f
    classDef m fill:#dbeafe,stroke:#2563eb,color:#1e3a5f

字段顺序是，这个顺序不是随意的：把阶码放在尾数前面，使得同号浮点数的位串可以直接当整数比较大小。阶码用移码、放在高位，正是为了这个效果。

阶码的偏置为什么是

IEEE 754 的阶码是移码，但偏置取（127 / 1023），而不是教材里移码的常规偏置（128 / 1024）。这是本节最容易被忽略、又最容易被考的一处差异。

原因是阶码的全 0 和全 1 被保留作特殊用途，真正可用的阶码字段值是，对应实际指数。

偏置取 127 而不是 128，让指数范围向正侧偏一格，收益很具体：最小正规格化数的倒数不会上溢。

可 表 示 若 偏 置 为 ： 上 溢

五类编码

阶码字段的取值决定了这串位属于哪一类，五类的规则互不相同，套错公式是最常见的错误：

阶码 E	尾数 M	类别	值
	任意	规格化数
全 0		非规格化数
全 0			（有两个零）
全 1
全 1		NaN	非数

（表中数值为单精度；双精度把、、。）

非规格化数的两个反直觉之处，都要单独记：

① 隐藏位是 0 不是 1。 阶码全 0 时不再假定，改用。

② 实际指数是而不是。 这是刻意规定的，目的是让非规格化数与最小规格化数平滑衔接：最大的非规格化数是，紧挨着最小规格化数，中间没有断层。

非规格化数存在的意义叫逐级下溢：如果没有它，比更小的数就只能直接变成 0，于是 a != b 却 a - b == 0 的怪事会发生。有了非规格化数，总能得到一个非零的微小值。代价是非规格化数的有效位数逐渐减少，精度是递减的。

关键边界值

这几个值建议直接记住，真题里反复出现：

单精度 float	位串	值
最小正非规格化数	`0x00000001`
最大非规格化数	`0x007FFFFF`
最小正规格化数	`0x00800000`
	`0x3F800000`	阶码，尾数全 0
最大规格化数	`0x7F7FFFFF`
	`0x7F800000`
NaN	`0x7FC00000` 等

双精度 double	值
最小正规格化数
最大规格化数
最小正非规格化数

有效位数：单精度位二进制，，故约 7 位十进制有效数字；双精度位，约 15~16 位。

编码与解码模板

十进制 → IEEE 754（四步）：

转二进制：整数部分除 2 取余，小数部分乘 2 取整（2.1.1）。
规格化成 ：小数点移到最高位 1 的右边，记下移动量。
算阶码字段 ，转成 8 位二进制。
取尾数字段：中小数点后的 23 位，不足补 0，超出要舍入。

例：。。， 1000 0010， 1001 后补 19 个 0。位串 1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000 0xC1480000。

IEEE 754 → 十进制（三步）：

按 1/8/23 拆字段。
先看阶码属于五类中的哪一类——这一步绝不能跳过。
规格化数：。

边界

IEEE 754 的移码与教材移码的偏置不同

	偏置	阶码全 0 表示
教材标准移码	（128）	最小指数
IEEE 754 阶码	（127）	保留：非规格化数或 0

题目问”IEEE 754 的阶码用什么码”，答案是移码；问”偏置是多少”，答案是 127 而不是 128。 两问经常连着出现。

规格化 ≠ 精确

规格化只是编码唯一化的要求，与这个数能否被精确表示毫无关系。规格化后是，尾数是无限循环的，存进 23 位必然被舍入。

“浮点数不精确”的根源在2.1.1 的进制转换，不在 IEEE 754 的位数分配。 增加尾数位只能减小误差，永远不能消除。

阶码决定范围，尾数决定精度——但都不是唯一因素

这句常见结论需要加限定：

范围主要由阶码位数决定，但尾数也有微小贡献（最大值是而非）。
精度由尾数位数决定，且这是相对精度：绝对精度随数值大小变化，附近相邻两个可表示数相差。

“浮点数在数轴上不等距”这一点是理解一切浮点问题的钥匙，包括为什么大数加小数会”吃掉”小数（见 2.3.2）。

零、无穷、NaN 的性质

	特点
	有两个零编码，但比较时为真
	由上溢或非零数除以 0 产生；参与运算仍是
NaN	由、、等产生；，与自身比较为假

” 成立当且仅当是 NaN”，这是 C 里判断 NaN 的标准写法，也是高频判断题。

同一位串既是浮点数也是整数

0x3F800000 作为 float 是，作为 int 是。两者毫无数值关系。

因此 (int)f 与 *(int*)&f 结果完全不同——前者是值转换，后者是位型重解释，见 2.1.4、2.3.3。

对照速查

	float	double
总位数	32	64
阶码位数 / 偏置	8 / 127	11 / 1023
尾数字段 / 有效位	23 / 24	52 / 53
十进制有效数字	约 7 位	约 15~16 位
最小正规格化数
最大规格化数

阶码	尾数	类别
全 0
全 0		非规格化数（）
其余	任意	规格化数（）
全 1
全 1		NaN

考点

阶码决定范围、尾数决定精度；double 主要加的是尾数
规格化的目的是编码唯一，隐藏位是它的副产品，白得一位精度
IEEE 754 阶码用移码，偏置是（127/1023），不是
偏置取 127 使最小规格化数的倒数不上溢
阶码全 0 时隐藏位为 0，实际指数取而不是
非规格化数实现逐级下溢，代价是精度递减
五类编码必须先判类别再套公式
；
单精度约 7 位十进制有效数字，双精度约 15~16 位
字段顺序使同号浮点可按位串比较大小

考研笔记