Fourier 级数延拓、系数与逐点和

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速记

设周期延拓后的函数为。在分段光滑条件下，Fourier 级数在处收敛于

余弦级数对应偶延拓。
正弦级数对应奇延拓。
端点值要先按周期延拓寻找左右极限。
求系数总和时，优先在等特殊点代入 Fourier 级数。

必考

880 第8章基础填空 6

原题

设

其余弦级数为

和函数为，求与。

解析

余弦级数对应在上的偶延拓，再作周期为的延拓。

在处，左右极限分别为与，故

。在周期端点两侧的极限均为，故。

880 第8章基础解答 11

原题

将（）展开为余弦级数，并求，

解析

余弦系数为

因此

令，得到

880 第8章基础解答 12

原题

将

展开为以为周期的 Fourier 级数。

解析

令，在一个周期上写成

周期为，故基频为。系数为

所以

在连续点取原函数值，在跳跃点取周期延拓后左右极限的平均值。

1000 基础篇第16章 17

原题

设

且

求。

解析

正弦级数对应奇延拓，再作周期为的延拓。由周期性，，在处，左右极限为与，故，和函数为奇函数，因此

选。

1000 基础篇第16章 18

原题

设，且在上，求，

解析，当时，用积化和差得，由，

1000 强化篇第16章 37

原题

设

其周期 Fourier 级数为，求。

解析

在处，左右极限为与，故。另一方面，且

所以

选。

1000 强化篇第16章 38

原题

是周期为的函数，且（）。若，求。

解析

余弦级数对应偶延拓。记

在处代入：

又。两式相加得

1000 强化篇第16章 40

原题

设（），其余弦级数和为。计算，

解析

偶延拓在处连续，故，又交错平方倒数和为，所以

拓展

880 第8章基础填空 5

原题

设

作周期延拓，其 Fourier 级数和为。求。

解析

在处，左极限为；右极限等于周期对应点的值。故

880 第8章综合解答 19

原题

求形如的级数，使其在内的和函数为；并求时的级数和。

解析

正弦系数为

故

取，级数和为。

1000 基础篇第16章 19

原题

已知（）。

（1）将展开成余弦级数；

（2）求。

解析

由偶性，

又

偶 奇

故

令，得到

1000 强化篇第16章 39

原题

设在上连续，且满足，求 Fourier 系数。

解析

将的积分拆为两个长度为的区间，并在后一段令。因为

两段积分相消，所以

模板总结

先判断全区间、余弦或正弦展开分别对应周期延拓、偶延拓或奇延拓。
求特殊点的级数和时，先找延拓后的左右极限，再取平均。
求、时，在、半周期端点列方程，通常无需逐个计算系数。
半波反对称会消去偶次谐波。

考研笔记