Fourier 延拓、系数对称性与逐点收敛

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周期为 的系数

在 上，

其中

余弦与正弦展开

• 在 作余弦级数，等价于先作偶延拓，再作 周期延拓。
• 在 作正弦级数，等价于先作奇延拓，再作 周期延拓。

因此端点和区间外取值都要先回到延拓后的函数。例题：正弦级数的奇延拓与周期定位。

Dirichlet 逐点收敛

若周期函数分段光滑，则 Fourier 级数在 处收敛于

连续点取 ；跳跃点取左右极限平均。周期端点的右极限来自下一个周期，左极限来自当前周期。例题：周期端点的左右极限。

奇偶性

• 为偶函数时，。
• 为奇函数时，，并且 。
• 若 ，偶次谐波系数消失。

半波反对称的证明来自把系数积分拆成两个半周期，后一段平移 后与前一段相消。例题：半波反对称消去偶次余弦系数。

特殊点求系数和

在 代入可得到，在半周期端点代入会给出 。若要求 ，可把偶数项和、奇数项和分别记为 ，在两个特殊点列方程。例题：两个特殊点求偶次系数和。

用 Fourier 级数求数项级数

先完整求出系数，再选使三角因子变成 的点代入。常见结果包括

对应例题：二次函数余弦展开、绝对值函数余弦展开。

题型训练

• Fourier 级数延拓、系数与逐点和