高阶降阶、反函数与变自变量

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方法模板

• 方程不显含 ：令 ，则 。

• 方程不显含 ：令 ，则 。

• 局部把 看成 的函数时，

• 令 、 时，

• 欧拉方程令 ，则 ，。

必考

880 第7章基础填空 8

原题

方程满足 、，求其特解。

解析

令 ，则

由 得，再由 积分：

880 第7章基础填空 9

原题

欧拉方程

满足 、，求 。

解析

令 、，则，原方程化为，其特征方程为 ，故，由 对应 ，两个初值给出 、，所以

880 第7章基础解答 1

原题

求方程过点 ，且在点 与直线 相切的积分曲线。

解析

令 ，则，切线条件给出 。分离变量：

代入 得 ，故 。再由 得

880 第7章基础解答 5

原题

求微分方程满足 的特解。

解析

方程不显含 。令 ，再令 ，则，原方程化为，故 。由 时 得 ，从而，初值处 ，取 。积分并用 ：，所以

880 第7章综合填空 1

原题

求微分方程的非常值通解。

解析

把 看成 的函数：，积分因子为 ，故，积分得

反解时除去了 ，它是原方程的常值解之一。

880 第7章综合解答 2

原题

利用变量替换 、，其中 ，化简方程，并求通解。

解析

因 ，

代入 、 后，一阶导数项抵消，得到，因此

880 第7章综合解答 3

原题

设

1. 利用 化简方程并求通解；
2. 若 、，求 。

解析

令 、。则

所以 。原方程化为，故， 时 ，故 。再由 得

因此

880 第7章综合解答 4

原题

设

1. 视 为因变量、 为自变量，化简该方程；
2. 求通解。

解析

局部设 。利用

原方程化为，齐次解为 。右端与 共振，取特解 ，故非恒定解为

反函数换元要求 ；原方程中的常值解 需另行补上。

1000 基础篇第15章 4

原题

求微分方程的通解。

解析

把 看成 的函数：，积分因子为 ，于是，积分得

此外，原方程还有 ；它在反解过程中被除去。

1000 强化篇第15章 22

原题

设 ，微分方程满足 ，求其特解。这里 。

解析

令 ，则 ，从而，代入原方程得 。初值给出 ，故在该解支上 ，于是，题设 正好保证右端非负。最终

1000 强化篇第15章 29

原题

设 是的一个非零特解。

1. 证明

   是与 线性无关的另一个特解；

2. 已知 是

   的一个解，求通解。

解析

这是本页代表题。令 ，代入原方程后，含 的部分因 是特解而消失，剩下，乘以 ：，取非零常数为 ，得到，从而得到题设 。其 Wronski 行列式为，故二者线性无关。

第二问中 、，在不跨越 的区间上，所以

1000 强化篇第15章 30

原题

将化为以 为未知函数的方程，并求通解。

解析

设 ，代入反函数二阶导公式：，故，分别求特解，得到

另有反解过程无法表示的常值解 。

1000 强化篇第15章 31

原题

设 满足，令 、，且，求 。

解析

令 、，则

原方程化为，故，给定点对应 ，只能推出 ，因此按现有题面得到一族解

二阶方程只给了一个有效条件，常数 无法继续确定。

拓展

1000 强化篇第15章 38

原题

微分方程满足 、，求其特解。

解析

方程乘以 ：，积分得 。由初值得 ，且初值处 ，故，再次分离并代入初值，得到

1000 强化篇第15章 39

原题

微分方程满足 ，求其解。

解析

把 看成 的函数：，令 ，则，积分因子为 ，故，由 得 ，于是

在 处原方程给出的 为无穷斜率；所得关系应理解为经过 、具有竖直切线的隐式解支。