几何微分方程模型
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几何量翻译
- 切线：。
- 切线的 轴截距：；切线的 轴截距：。
- 法线斜率：；法线的 轴截距：。
- 图形面积：。
- 弧长：。
- 曲率：。
- 极坐标面积元：；极坐标弧长元：。
必考
880 第7章基础解答 8
原题
平面曲线 上任一点 ，其中 ，到原点的距离恒等于该点切线在 轴上的截距，且 过点 。
- 求曲线 ；
- 在 的第一象限部分作一条切线，使该切线、 与两坐标轴所围面积最小。
解析
第一问中，令 ，则，积分并利用初值可得，平方化简：
在 处切线为，该切线与坐标轴围成的三角形面积为，题求面积为 减去曲线在两坐标轴间围成的固定面积，故只需极小化 。求导得，因此所求切线为
880 第7章基础解答 9
原题
是连接 与 的一段向上凸曲线。 为弧上任一点，弧 与有向线段 所围图形面积为 ，求曲线方程。
解析
弦 的方程为 。向上凸弧位于弦下方，故，求导：，即，由 得
880 第7章综合解答 15
原题
设
- 求 的极值与拐点；
- 若 且 ，证明 。
解析
积分因子法得，由
最大值点为 ，拐点为 。
第二问令 。由 得 。写 。对 ，
因为其导数为 ，且 时为 。 在 严格递减，所以与 同值的右侧点满足 。故
880 第7章综合解答 16
原题
上凸曲线 满足 。任一点 处的切线与 轴交于 ，且 。已知 、，求曲线。
解析
切线的 轴截距为 。由解的几何位置， 位于原点左侧，故，令 ，则 ，从而，因此，由 得 ，所以，取 ：
880 第7章综合解答 17
原题
向上凸曲线 上任一点的曲率为，且曲线在点 处的切线为 ，求曲线。
解析
向上凸给出 ，曲率条件化为，即，令 。由 得，再由 ：
在包含 且余弦不为零的区间上成立。
880 第7章综合解答 19
原题
第一象限内曲线 满足 、。在任一点 作切线交 轴于 ，作垂线 。若三角形 的面积与曲边三角形 的面积之比恒为，求曲线。
解析
记，切线三角形的底为 ，面积为 。条件给出，把 看成 的函数，因 ，上式化为，故 。再用 ，可得，在第一象限取 ：
880 第7章综合解答 20；1000 强化篇第15章 36
原题
曲线 满足 、。对任一点 ，其中 ，从 沿曲线到 的弧长等于曲线在 处的切线斜率。
- 求 ；
- 880 题求从 到 的弧长；1000 题求曲线与 及坐标轴所围区域的形心。
解析
记弧长函数为 。题设给出 ，故，令 ，由 得
再由 ：
880 所求弧长直接利用 ：
对 、 的区域，面积为 。形心为
880 第7章拓展 4
原题
飞机从 沿 轴正向以速度 飞行。导弹从 出发追击，方向始终指向飞机，速度为 。
- 求导弹轨迹；
- 求飞机被击中的位置和时间。
解析
设导弹位置为 、飞机位置为 。瞄准方向给出，对 求导，并利用导弹速率 ，可消去 得，令 ，由初始瞄准方向 ：
积分并用 ：
在 处击中，位置为
故
1000 基础篇第15章 2
原题
曲线上任一点的切线在 轴上的截距与法线在 轴上的截距之比为 ，求曲线方程。
解析
两个截距分别为
故
令 后分离积分，得到
1000 基础篇第15章 8
原题
旋转曲面 与 面围成无上盖容器。以 注水，水面面积以 增大，容器底面积为 。求 。
解析
水面面积为，且 。由
得到
代入 ：，底面积给出 ，故
1000 基础篇第15章 12
原题
曲线 ，，经过 。任一点到 轴的距离等于该点切线在 轴上的截距。求曲线在 上与 轴所围面积。
解析
条件给出，即，由 得，因此面积为
1000 强化篇第15章 35
原题
曲线 与直线 在原点相切，且曲线在 处切线倾角 关于 的变化率等于该点切线斜率。求 。
解析
，故，令 ，由 ：
所以，结合 积分：
1000 强化篇第15章 37
原题
极坐标曲线 过 。曲线与极径 围成的扇形面积，等于曲线上 间弧长的一半。求曲线。
解析
对积分上限 求导：，故，分离变量：，由 得，因此局部解支为
取满足 且余弦为正的区间。正负号对应从定点出发时半径增大或减小的两种方向。
拓展
1000 强化篇第15章 14
原题
函数 满足，且曲线拐点的横坐标为 ，求 。
解析
在 的解支上令 ，则
所以 ，并有，拐点横坐标为 给出 。故该正平方根解支为
并需限制在 的相应区间内。