一阶线性、Bernoulli 与全微分

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方法模板

• 一阶线性方程 ：。
• 伯努利方程先用幂换元把未知函数的幂降成一次；换元前被除去的零解要另查。
• 先验 ；成立后从 对 积分或从 对 积分，并补齐漏掉的单变量项。
• 含 、、 的方程，优先考察能否令它们本身为新未知函数。

必考

880 第7章基础填空 3

原题

求微分方程的非常值通解。

解析

令 。原方程除以 后化为，积分因子为 ，故

因此

换元时除去了 ，原方程还具有零解 。

880 第7章基础填空 4

原题

求全微分方程

的通解。

解析

观察到

原式即，所以

880 第7章基础解答 10

原题

设 满足

且 。

1. 求 ；
2. 若方程 在 内有唯一实根，求 的取值范围。

解析

利用

积分得，由 得 ，故

方程 等价于，对 ，，且，这里 的最小值为 。又

故 将 严格递增地映到 ，唯一根的条件为

880 第7章综合填空 3

原题

求微分方程的通解。

解析

令 ，则 ，原方程化为，在不跨越 的区间内，积分因子为 ，故，积分并整理：

880 第7章综合填空 5

原题

微分方程满足 ，求其特解。

解析

令 ，则，积分因子为 ，所以，由 得

880 第7章综合解答 11

原题

设 满足

且

1. 求 ；
2. 若曲线 在 上与 轴所围图形的面积为 ，求

解析

由及右端极限条件，得

于是，在每个区间 上换元 ：

故 ，从而

1000 基础篇第15章 6

原题

求微分方程的通解。

解析

令 。原方程乘以 后得到，其通解为 ，所以

1000 基础篇第15章 7

原题

设 是微分方程满足 的解。

1. 求 ；
2. 求曲线 的斜渐近线。

解析

积分因子为 ，故，由初值得

当 时，，所以斜渐近线为

拓展

880 第7章基础解答 2

原题

求微分方程的通解。

解析

写成 ，其中

因，原方程为全微分方程。对 关于 积分：，比较 得 ，所以

1000 基础篇第15章 11

原题

函数 满足

求曲线 在 上的平均值。

解析

方程化为，积分因子为 。积分并代入初值得

因此平均值为

1000 强化篇第15章 9

原题

全微分方程满足 ，求其特解。

解析

取 ，。因 ，势函数可取，由初值 ，故