牛顿—莱布尼茨公式的证明骨架

这一页在记什么

证明最标准的有三步：

1. 先构造一个变上限积分函数；
2. 证明它就是 的一个原函数；
3. 再用“原函数只差常数”。

三步证明

第一步：构造

设

第二步：证明

若 在区间上连续，则由微积分基本定理第一部分，，所以 是 的一个原函数。

第三步：比较两个原函数

若题设已有，则，因此，代入 ，注意，得到，所以，再代入 ：，移项即得

考试版

由 在 上连续，知，又因 ，故，所以 。取 ，得 。再取 ，得

一句最该记住的话

变上限积分先造出一个原函数，再用原函数只差常数把定积分改写成端点差。

链接

• 第 8 讲对象图：第8讲对象图：定积分、不定积分、变上限积分与微积分基本定理
• 第 8 讲总览：第8讲：积分的对象、基本定理与反常积分触发器