一阶可分离、齐次与特殊换元

🏠 第15章概念导航 · 微分方程题库 · 一阶方程选型

方法模板

出现时令，从开始化简。
出现时仍先考察；开方后会出现，解答需限定在不跨越的区间。
分离变量时除去的因子可能对应常值解，完成积分后要回原方程补查。
初值决定积分常数，也决定反三角函数或对数表达式所在的局部分支。

必考

880 第7章基础填空 2

原题

微分方程满足的特解为______。

解析

这是齐次型方程。令，则，代入得，在初值附近，故

于是。由得，所以

按初值所在分支，也可写成

该显式表达式只表示经过初值点的局部分支。

880 第7章基础填空 5

原题

求微分方程的通解。

解析

先在的区间讨论。令，则，从而，积分得，利用，可化为

若在的区间求解，需保留后重新积分；解曲线不能跨过方程的奇点。

1000 基础篇第15章 5

原题

过原点的曲线满足，求，

解析

令，则，且。因此

由，

1000 强化篇第15章 21

原题

微分方程满足的解为______。

解析

令，则，注意到

故，由得，所以

边界核验

齐次换元建立在的区间上。
从隐式式改写为、时，要同时保留定义域和初值确定的分支。
分离时若除以、或其他含未知函数的因子，先把相应常值候选代回原方程。

拓展

880 第7章综合填空 4；1000 强化篇第15章 1

原题

微分方程满足，求其特解。1000 强化篇第15章第 1 题要求求通解。

解析

令，则

分离并积分：

整理得通解

初值给出。

1000 强化篇第15章 8

原题

已知函数在任意点处的增量满足，且，则（）。

解析

由增量式直接读出，分离变量得，由得，所以

选 A。

1000 强化篇第15章 16

原题

函数满足

且，求的最小值。

解析

令。因，原方程化为，于是，代入得，对数求导：，唯一驻点满足，即。两端函数均趋于，故该点取得最小值

1000 强化篇第15章 17

原题

设满足

求在上的最大值。

解析

积分得，由得，故，并按极限补定义。令，则，最大值在处取得：

1000 强化篇第15章 19

原题

当时，函数满足

求的最大值。

解析

因

故，在处取得最大值，所以

1000 强化篇第15章 23

原题