渐近、稳定性、周期与反常积分

🏠 第15章概念导航 · 微分方程题库 · 线性方程稳定性

判定板

的非零解为；所有解趋零等价于。
、且时，稳定平衡值为。
二阶实系数多项式的根全在左半平面，充要条件是。
“任意解的反常积分收敛”要求每个齐次模态都衰减，并排除常数模态和纯振荡模态。
所有解具有同一周期时，指数包络必须恰好为常数。

必考

880 第7章基础选择 6；1000 强化篇第15章 4

原题

设在上连续并满足，为的任一解。求其水平渐近线。

880 选项：

1000 选项：

(A) 当时，任意解均满足
(B) 当时，任意解均满足
(C) 当时，任意解均满足
(D) 当时，任意解均满足

解析

令，则，由积分因子公式或稳定卷积估计可得，故水平渐近线为

880 第7章综合填空 7

原题

函数满足

且、。求，

解析

保证两个特征根都为负实数，故。对方程在上积分：

代入边界值得

880 第7章综合解答 8

原题

设在上有一阶连续导数，且，求。

解析

将写成，求导后恰好出现已知的。因分母、，且导数之比满足

由广义洛必达法则，

这里用的是分母趋于无穷的广义形式：在上述可导、分母导数非零及导数比极限存在的条件下，不要求分子也趋于无穷，更不必预先知道的极限存在。

880 第7章综合解答 18

原题

设在上非负连续。证明：方程

的每一个解都满足，当且仅当发散。
设，在上连续有界。证明

的所有解在上有界。

解析

第一问通解为，若积分发散到，每个解均趋零。若积分收敛，取，指数趋于正的常数，该解不趋零，必要性也成立。

第二问设。积分因子公式给出，所以

故所有解有界。

1000 基础篇第15章 10

原题

设连续且。求的解，并证明时，

解析

积分因子为，故

进一步，

1000 基础篇第15章 15

原题

设满足

求，

解析

由重根及初值得。因此

1000 强化篇第15章 2

原题

每一个解都满足的微分方程是（）。

解析

对，所有解趋零要求。A 中，积分收敛；C 中，积分发散。B、D 的符号导致非零解增长。故选

1000 强化篇第15章 6

原题

若方程的任一解都使收敛，求的范围。

解析

方程写成，任意模态都可积，要求两个特征根实部均为负。

若有实根，也要求两根之积大于0

二阶稳定判据给出

故

1000 强化篇第15章 15

原题

若

求，

解析

求导得，时特征根实部均为负，故。将上式在上积分：，原式在给出，所以

1000 强化篇第15章 18

原题

若的所有解都以为周期，求。

解析

通解为，已以为周期。要使任意非零解也以为周期，指数包络须满足，故

拓展

1000 强化篇第15章 5

原题

若二阶常系数齐次方程的解在整个实轴上均有周期性，则（）。

解析

所有解均周期，特征根必须为一对非零纯虚根。故特征多项式为，即

选 D。

1000 强化篇第15章 24

原题

曲线过原点，并在原点处与有公共切线；又满足，求，

解析

公共切线给出、。由重根得，因此

考研笔记