例3.3：线性相关题里的“贡献新方向”

原题

设是个维向量，下列论断正确的是（）。

(A) 若不能由线性表示，则向量组线性无关。

(B) 已知存在不全为零的数，使得，则不能由线性表示。

(D) 若线性相关，不能由线性表示，则线性相关。

设，不能由前面向量线性表示，就是，几何上，这说明给前面已经张成的空间贡献了一个新方向。

逐项看：

(A) 错。贡献新方向，只能说明冗余不来自，但前面的可能本来就相关。例如，不能由表示，但线性相关。

(B) 错。给出的式子只说明前个向量内部已经线性相关，不能判断是否落在它们的张成空间里。例如，前两个相关，但当然可以由它们表示。

(D) 对。因为整个向量组线性相关，所以存在不全为零的，使，若，则可解出，这与不能由前面向量表示矛盾。因此。

于是，且不全为零，所以前个向量线性相关。

答案是

这里最容易错在把“贡献新方向”误读成“整个向量组无冗余”。其实它只排除了是冗余来源，不能排除前面的向量已经冗余。

线性相关/无关题的核心不是背定义，而是追踪“谁真正增加了张成空间的维数”。这道题的判断口令是：

只 说 明 不 多 余 ， 不 说 明 前 面 没 冗 余 。