考研笔记

函数图像：幂函数

一句话结论

幂函数图像最稳的读法不是死记很多条曲线，而是先在正半轴上记住 怎样控制单调性和凹凸性，再单独判断这个指数能不能把图像延拓到负半轴，以及延拓后是偶型还是奇型。

核心内容

先把两个层次分开：

  • 如果把 当作任意实数连续变化，最稳妥的实值图像先看 。
  • 如果 是整数，或约分后分母为奇数的有理数，再问它能不能延拓到负半轴。

在 上，，所以正半轴上的骨架几乎全由 和 的符号决定。

还有三个最值得先记住的不动点和比较规则：

  • 所有幂函数都会经过 。
  • 当 时，图像通常会向原点靠拢；当 时， 会变成不可取点。
  • 固定 时， 越大， 越大；固定 时， 越大， 反而越小。

正半轴上最常用的分型如下：

指数范围单调性凹凸性图像直觉
递增向上弯近原点贴着 轴，过 后迅速抬头
递增直线就是直线
递增向下弯近原点很陡，往右越来越平
常数直线可看成水平线 ；严格说 通常不讨论
递减向上弯像双曲线型曲线，靠近 爆高，远处贴近 轴

负半轴能不能出现，要看指数类型，而不是只看数值大小：

指数类型实值定义域对称性图像骨架
正偶整数，如 偶函数关于 轴对称，过原点，整体像 形
正奇整数，如 奇函数关于原点中心对称，过原点，整体像递增的 形
负偶整数，如 偶函数两支在一、二象限， 和 都是渐近线
负奇整数，如 奇函数两支在一、三象限，关于原点中心对称
约分后分母为奇数的有理数，如 指数 时通常可取全体实数；指数 时去掉 分子奇时是奇型，分子偶时是偶型可以延拓到负半轴
约分后分母为偶数的有理数，或一般无理数通常只先看 或 一般没有负半轴实值图像例如 只有右半边，而 却能画出左半边

比较不同 时，还有四个特别好用的读图结论：

  1. 在 上，增大 会把曲线往下压；在 上，增大 会把曲线往上抬。
  2. 当 时，图像在 内落在 下方，在 上落在 上方。
  3. 当 时，上面的关系正好反过来。
  4. 当 时，可以先把它看成 ，也就是先画正指数，再取倒数。

最小例子 / 图示 / 代码

建议直接打开交互页看两层规律：

幂函数交互页

这个交互页故意分成两个模式：

  • 连续 a：只看正半轴，适合观察“ 连续变动时，图像整体怎么挪”。
  • 典型指数：看 这类精确指数，只有在确实存在实值时才画负半轴。

看图时建议优先抓这三件事：

  1. 点 有没有动。
  2. 当 时，当前指数是在把曲线压低，还是抬高。
  3. 负半轴是“根本不能画”，还是“可以画但要分奇型/偶型”。

易错点 / 使用边界

  • 不要把“ 连续变化时的正半轴规律”和“负半轴能否取到实值”混成一件事。
  • 不要因为 不能画到左边，就误以为所有分数指数都不能；关键是约分后分母是不是奇数。
  • 和 很像，但定义域完全不同：前者能写成 ，后者要开偶次根。
  • 负指数不是把图像“翻到下面去”，而是先变成倒数，所以最先出现的是 附近的爆高和远处贴近 。
  • 若题目没有特别说明，遇到 时最好把“”和“ 不讨论”这两句话一起记。

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