函数图像： 与

一句话结论

像“更陡的 ”，过原点、是奇函数、整段递增； 像“整体抬高后的 形曲线”，关于 轴对称，并在 处取得最小值。

核心内容

先记定义：

• ：
  • 定义域：。
  • 值域：。
  • 奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称。
  • 单调性：

所以在整个定义域上严格递增。

• 凹凸性：

所以 时向下弯， 时向上弯， 是拐点。

• 截距：过原点 。

• ：

  • 定义域：。
  • 值域：。
  • 奇偶性：偶函数，图像关于 轴对称。
  • 单调性：

所以它在 上递减，在 上递增。

• 凹凸性：

所以整段向上弯。

• 最值：在 处取得最小值，没有最大值。

• 两者的共同关系：

当 时，两者都近似 ，所以右端都会快速上升；当 时， 仍然向上，而 会向下。

最小例子 / 图示 / 代码

几个起手点最值得记：

参数变换最常用的是下面两类：

• 对 来说，若

那么当 时整段递增，当 时整段递减；若 ，图像关于点中心对称，并且这个点也是拐点。

• 对 来说，若

那么当 时，对称轴是，极值点是，其中 时开口向上，在该点取最小值； 时开口向下，在该点取最大值。

建议直接打开交互页拖动参数看图像变化： 双曲函数交互页

易错点 / 使用边界

• 不要把 误画成过原点的曲线；它一定经过 。
• 不要把 和 混在一起；它不是周期函数，也不会在 之间来回摆动。
• 对 ，极值点的纵坐标是 ，不是 。
• 对 ，平移后的“对称中心”和“拐点”都在 ，不要漏掉外面的 。

链接

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